MAKALAH TRANSFORMASI LINIER

 

BAB I

PENDAHULUAN

 

A.  LATAR BELAKANG

Tranformasi linear termasuk dalam aljabar linear elementer yang memiliki sub bagian seperti matriks dan operasinya,determenian matriks, system persamaan linear, vector dibidang dan diruang,ruang vektor,ruang hasil kali dalam, ruang eigen dan yang terakhir transformasi linear.

Dalam berbagai analisis statistik,umumnya untuk bidang penelitian pendidikan dan psikologi, khususnya dalam bidang pengujian dan pengukuran transformasi data ke data “lain”sering d pakai membantu guru, psikolog, dan peneliti menginterprestasikan data mentah..Transformasi linaer merupakan bentuk paling sederhana dalam konsep pengubahan data dalam satu format ke format lainnya.Tujuan utama yang sering di ungkapkan dalam pembahasan topik ini (transfomasi linier) adalah untuk mengembangkan pemahaman bahwa data dalam satu format dapat di transfer atau di ubah ke bentuk data “lain”sehingga memudahkan analisis selanjutnya dan penginterprestasiannya.

 

B.  RUMUSAN MASALAH

Dalam pembahasan materi ini, dan agar tersusun secara sistematis dan efisien maka timbulah beberapa rumusan masalah yang diantaraya:

1.      Apa yang dimaksud dengan Ruang nol, ruang baris, dan ruang kolom.

2.      Apa yang dimaksud dengan Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null.

3.      Bagaimana Basis untuk Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null

4.      Apa itu Matriks Representasi Transformasi Linier

5.      Bagaimana Transformasi Linier antar Ruang Vektor

6.      Bagaimana Sifat-sifat Dasar Transformasi Linier

 

 

 

 

C.  TUJUAN DAN MANFAAT

1.      Mengimplementasikan ilmu kedalam mikrosoft Excell

2.      Mengetahui Ruang nol, Ruang Baris, dan ruang kolom

3.      Mengetahui bagaimana transformasi linier antar ruang vektor

4.      Mengetahui bagaimana sifat-sifat dasar transformasi linier

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BAB II

PEMBAHASAN

 

A.  RUANG NOL, RUANG BARIS, DAN RUANG KOLOM

Definisi Vektor-vektor Baris dan Kolom Suatu Matriks

1.      Definisi (Vektor-vektor baris dan kolom)

Misalkan A adalah suatu matriks m x n,

  

Vektor – vektor

r

r

,

                                    r

dalam Rⁿ yang dibentuk dari baris-baris A disebut sebagai vektor-vektor baris dari A.

Kemudian vektor-vektor

                                    c

dalam Rⁿ yang dibentuk dari kolom-kolom A disebut sebagai vektor-vektor kolom dari A.

 

 

 

Contoh

Misalkan  Vektor – vektor baris dari M adalah:

.=

.=

.=

Kemudian vektor-vektor kolom dari M adalah

. =

.=

.==

.=

 

2.    Devinisi Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null

Misalkan A adalah suatu matriks m x n, maka

·      Subruang dari Rn yang direntang/ dibangun oleh vektor-vektor baris A dikatakan sebagai ruang baris dari A, dinotasikan dengan row (A).

·      Subruang dari Rm yang direntang/ dibangun oleh vektor-vektor kolom A dikatakan sebagai ruang kolom dari A, dinotasikan dengan col (A).

·      Subruang dari dari Rn yang merupakan ruang penyelesaian dari SPL homogen Ax = 0 dikatakan sebagai ruang null dari A, dinotasikan dengan null (A). Ruang penyelesaian kadang-kadang juga disebut sebagai ruang solusi.

 

Catatan

Ruang kolom dari A juga dikatakan sebagai peta (image) dari A. Kita memiliki.

Im (A) = Peta (A) = col (A) = fy 2 Rm j y = Ax untuk suatu x 2 Rng .

Ruang null dari A juga dikatakan sebagai inti atau kernel dari A. Kita memiliki.

ker (A) = inti (A) = null (A) = fx 2 Rn j Ax = 0g .

 

Teorema

SPL Ax = b konsisten jika dan hanya jika b berada pada ruang kolom dari A.

Misalkan Ax = b adalah suatu SPL dengan A berupa matriks m_n. Teorema diatas menyatakan bahwa SPL Ax = b konsisten jika dan hanya jika  untuk suatu dengan  adalah vektor-vektor kolom dari A.

 

Bukti

Tulis A= Akibatnya kita memiliki

A

=

=

=

 

Jadi SPL Ax = b Konsisten jika dan hanya jika terdekat Sehingga b

 

Latihan

Misalkan Ax = b adalah SPL=  Periksa apakah b berada pada ruang kolom A. Jika ya nyatakan b sebagai kombinasi linier vektor-vektor kolom dari A.

Solusi: Melalui OBE kita dapat memperoleh  Lebih jauh, perhatikan bahwa. A Dengan mensubstitusikan  Kita memiliki .

 

3.    Basis untuk Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null

Basis untuk ruang baris dan ruang null dapat diperoleh dengan meninjau teorema berikut.

Teorema OBE tidak mengubah ruang baris dan ruang null dari suatu matriks. Basis untuk ruang kolom dapat diperoleh dengan meninjau dua teorema berikut.

Teorema Misalkan A dan B adalah dua matriks yang ekivalen baris (artinya A dapat diperoleh melalui OBE dari B, dan sebaliknya).

·      Suatu himpunan vektor kolom dari A bebas linier jika dan hanya jika himpunan vektor kolom yang berpadanan dari B bebas linier.

·      Suatu himpunan vektor kolom dari A membentuk basis untuk ruang kolom A jika dan hanya jika himpunan vektor kolom yang berpadanan dari B. membentuk basis untuk ruang kolom B.

 

Teorema Jika A adalah suatu matriks yang berada dalam bentuk eselon baris, maka

·      vektor-vektor baris dengan 1 utama (vektor-vektor baris tak nol) membentuk basis untuk ruang baris A;

·      vektor-vektor kolom dengan 1 utama dari vektor-vektor baris membentuk basis untuk ruang kolom A.

 

Contoh

Misalkan M Matriks M berada pada bentuk eselon baris.

Basis bagi row (M) adalah . Kemudian basis

bagi col (M) diperoleh dari vektor kolom pada M yang bersesuaian dengan 1

utama pada M, yaitu  Jadi basis bagi col (M) adalah {(1, 0, 0, 0,), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)}.

 

Contoh

Misalkan M  . Melalui OBE kita dapat mereduksi M

menjadi matriks M0 yang berada dalam bentuk eselon baris:

M’.  Akibatnya basis bagi row (M’) adalah {(1, -1, 1)}. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M’). Jadi basis bagi row (M) adalah {(1, -1, 1)}. Kemudian basis bagi col (M’) adalah {(1, 0, 0)}. Karena vektor (1, 0, 0) diperoleh dari kolom pertama, maka basis bagi col (M) adalah {(0, 1, -1)}.

 

B.  MATRIKS REPRESENTASI TRANSFORMASI LINIER

Devinisi Fungsi Jika A dan B adalah dua himpunan (keduanya tak kosong) maka suatu fungsi  adalah sebuah pengaitan yang mengaitkan setiap  dengan satu  . Selanjutnya jika  adalah sebuah fungsi, himpunan A disebut sebagai domain (daerah asal) dari f dan ditulis dom (f) dan himpunan B disebut sebagai kodomain (daerah hasil) dari f dan ditulis cod (f). Kita juga mengatakan bahwa f adalah fungsi dari A ke B.

Misalkan . Jika f (a) = b, maka b disebut sebagai peta (image) dari a dan a disebut sebagai prapeta (preimage) dari b. Lebih jauh kita memiliki Im (f) = R(f) = Peta (f) = ran (f) = jangkauan (f) = untuk suatu .

 

Transformasi antar Ruang Vektor

Devinisi (Transformasi antar Ruang Vektor)  Misalkan V dan W adalah dua ruang vektor dan f : V → W adalah sebuah fungsi. Kita juga mengatakan bahwa fungsi tersebut adalah transformasi dari V ke W. Ketika V = W, maka f : V ! V kita katakan sebagai operator pada V.

 

Contoh

Diberikan fungsi  yang dijelaskan berikut:

f Fungsi f adalah transformasi dari ² ke  . Kita juga dapat menulis

Evaluasi dari f dapat dilakukan dengan sederhana. Sebagai contoh: f (1,1)= (2,0,1) dan f (0,2) = (2, -2, 0).

 

1.    Transformasi Linier antar Ruang Vektor

Devinisi (Transformasi Linier antar Ruang Vektor) Misalkan V dan W adalah dua ruang vektor dan  f : V → W adalah sebuah transformasi dari V ke W. Fungsi f dikatakan sebagai transformasi linier (atau pemetaan linier) apabila memenuhi dua sifat berikut:

·      (sifat kehomogenan) untuk setiap  dan  berlaku =.

·      (sifat aditif) untuk setiap  ,  berlaku +.

Perlu diketahui bahwa operasi perkalian skalar  terjadi di V , sedangkan operasi perkalian skalar  terjadi di W. Kemudian operasi penjumlahan + terjadi di V dan operasi penjumlahan + terjadi di W. Ketika V = W, maka f dikatakan sebagai operator linier pada V.

Devinisi di atas menyatakan bahwa jika suatu fungsi f : V → W adalah transformasi linier apabila f mempertahankan operasi perkalian skalar dan penjumlahan untuk vektor-vektor yang dipetakan. Kemudian operator linier merupakan transformasi linier dari suatu ruang vektor kedirinya sendiri.

 

Latihan

Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut merupakan transformasi linier/ operator

linier.

·      T:  dengan T (x, y) = (-y, x).

·      T : R3 ! R2 dengan T (x, y, z) = (x - y + z, 0).

·      T : R → R dengan T (x) = 2x + 1.

·      4 T : R2 → R2 dengan T (x,y) = (x, y + 1).

·      5 T : R4 → R2 dengan T (x1, x2, x3, x4) = (1,-1).

 

Solusi:

1.    T :  dengan T (x, y) = (-y, x) adalah sebuah operator linier pada . Kita memiliki.

·      T ((x1, y1) + (x2, y2)) = T (x1 + x2, y1 + y2) = (-(y1 + y2) , x1 + x2) = (-y1, x1) + (-y2, x2) = T (x1, y1) + T (x2, y2).

·      T (a (x; y)) = T (ax, ay) = (-ay, ax) = a (-y; x) = aT (x, y).

2.    T :  dengan T (x, y, z) = (x - y + z, 0) adalah suatu transformasi linier dari . Kita memiliki.

·      T ((x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)) = T (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x1 + x2 - (y1 + y2) + z1 + z2, 0) = (x1 - y1 + z1, 0) + (x2 - y2 + z2, 0) = T (x1, y1, z1) + T (x2, y2, z2).

·      T (a (x; y; z)) = T (ax, ay, az) = (ax - ay + az, 0) = a (x - y + z, 0) = aT (x, y, z)

3.    T :  →  dengan T (x) = 2x + 1 bukan transformasi linier, karena T (0 . 0) = T (0) = 1 ≠ 0 . 1 = 0 . T (0).

4.    T :  dengan T (x, y) = (x, y + 1) bukan transformasi linier (dan karenanya bukan pemetaan linier) karena T (0 (0, 0)) = T (0, 0) = (0, 1) ≠ 0 (0, 0) = 0 . T (0, 0).

5.    T : R4 ! R2 dengan T (x1; x2; x3; x4) = (1;􀀀1) bukan transformasi linier karena

T (0 (0, 0, 0, 0)) = T (0, 0, 0, 0) = (1,-1) ≠ 0 (1,-1) = 0 . T (0, 0, 0, 0).

 

2.    Sifat-sifat Dasar Transformasi Linier

Teorema Diberikan ruang vektor V dan W dan sebuah transformasi linier T : V → W, maka

1.    , dengan ~0V dan ~0W berturut-turut menyatakan vektor nol di V dan W,

2.     untuk setiap V

3.    -    untuk setiap

 

 

 

BAB III

PENUTUP

A.  KESIMPULAN

Transformasi linier merupakan dasr yang berbentukfungsi.transformasi linier yang di maksud adalah perpindahan dari satu ruang yang biasanya  dinamakan domain  atau daerah asal keruang lain yang di namakan kodomain atau daerah hasil

 

B.  SARAN

Dalam penulisan makalah ini kami menyadari masih banyak kesalahan dan kekurangan, maka dari itu alangkah baiknya jika kita memperbanyak referensi sebagai sumber-sumber ilmu kita. Juga, untuk dapat mengerti tentang transformasi linear, kita diharuskan menghafalkan rumus-rumus dan sifat-sifat pada transformasi linear.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DAFTAR PUSTAKA

 

Ririen Kusumawati, dkk. Aljabar Linier dan Matriks. UIN maliki press: 2009, cet. Ke-2.

Mursita, danang. Aljabar Linier. Bandung: Rekayasa Sains: 2010, cet. Ke-1.

Leon, Steven. Aljabar Linier dan Aplikasinya. Yogjakarta: Erlangga. 2001, cet. Ke-5